Nel capitolo precedente abbiamo trasformato una quota in una domanda più precisa:

Qual è la probabilità minima che rende questa quota conveniente?

Ora affrontiamo un'idea molto comune:

Se perdo, posso aumentare la puntata in modo intelligente e recuperare?

La domanda sembra riguardare la successione di Fibonacci, la Martingala o qualche altra progressione.

In realtà il primo calcolo da fare è più semplice:

quanto vale mediamente ogni euro puntato?

Se quel valore è negativo, cambiare la dimensione delle puntate può cambiare profondamente il percorso del bankroll, ma non crea da solo un vantaggio matematico.

Lo spunto del libro

Nel capitolo dedicato alla successione di Fibonacci di La scommessa vincente, Ivan Sergio propone di aumentare la puntata dopo una scommessa persa.

Il testo usa ancora una multipla di tre eventi quotati circa:

1,20
1,20
1,20

quindi una quota complessiva:

1,20³
=
1,728

Nel suo esempio operativo una schedina da:

10 €

persa viene seguita da una puntata da:

20 €

e, dopo un'ulteriore perdita, viene indicata una puntata successiva da:

50 €

Il testo presenta questa progressione come applicazione di Fibonacci e sostiene che possa ridurre nel lungo periodo la possibilità di accusare perdite.

Non assumiamo che questa conclusione sia vera.

La mettiamo alla prova.

Prima distinzione: ritorno lordo e profitto netto

A quota:

1,728

una puntata da 20 € restituisce, in caso di vittoria:

20 · 1,728
=
34,56 €

Ma:

34,56 €

non è il profitto netto.

Comprende anche i:

20 €

che avevamo appena puntato.

Il profitto netto della schedina vincente è:

34,56 - 20
=
14,56 €

Se la schedina precedente aveva perso 10 €, il risultato dell'intero mini-ciclo è:

-10
+
14,56
=
+4,56 €

Quindi in questo percorso la puntata maggiore recupera davvero la perdita precedente.

Ma questo non dimostra che la progressione abbia creato un vantaggio.

Se perdiamo anche i 20 €

Dopo due perdite consecutive abbiamo perso:

10 + 20
=
30 €

Il libro passa quindi a una puntata da:

50 €

Se questa vince, il ritorno lordo è:

50 · 1,728
=
86,40 €

e il profitto netto della singola schedina è:

86,40 - 50
=
36,40 €

Il ciclo complessivo diventa:

-10
-20
+36,40
=
+6,40 €

Anche questa particolare sequenza recupera le perdite.

Ma abbiamo ancora osservato soltanto un percorso possibile.

Il dettaglio Fibonacci

Qui conviene essere precisi.

Una successione che parte da:

10, 20

e applica davvero la ricorrenza:

prossimo
=
precedente
+
precedente ancora

produce:

10
20
30
50
80
130
210
340
...

L'esempio operativo del libro passa invece:

10
20
50

dopo due perdite consecutive.

Quindi il percorso pratico riportato non coincide con una successione Fibonacci rigorosa a partire da 10,20.

Per il nostro confronto useremo una variante ben definita:

10, 20, 30, 50, 80, 130, ...

e, come nel libro, dopo una vittoria torneremo alla puntata base.

Il punto non è correggere il nome della progressione: è rendere l'algoritmo abbastanza preciso da poterlo misurare.

Perché Fibonacci compare in tanti problemi senza avere poteri speciali

Prima di tornare alle puntate, vale la pena vedere da dove può nascere davvero una ricorrenza di Fibonacci.

Una composizione di un intero è un modo di scrivere un numero come somma ordinata di interi positivi. L'ordine conta: 1+2 e 2+1 sono composizioni diverse di 3.

Consideriamo soltanto composizioni costruite con parti 1 e 2.

Per n=4 sono:

1+1+1+1
1+1+2
1+2+1
2+1+1
2+2

Sono cinque.

Chiamiamo a_n il numero di queste composizioni di n. Ogni composizione termina necessariamente con 1 oppure con 2.

Se termina con 1, togliendo quell'ultimo 1 rimane una composizione di n-1.

Se termina con 2, togliendo quell'ultimo 2 rimane una composizione di n-2.

I due casi non si sovrappongono e coprono tutte le possibilità. Perciò:

$$ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}. $$

Qui a_1=1 e a_2=2. Se usiamo la convenzione F_1=F_2=1, allora:

$$ a_n=F_{n+1}. $$

Otteniamo quindi la successione di Fibonacci con uno spostamento di indice.

Questo spiega perché Fibonacci compare in tanti problemi combinatori: emerge naturalmente quando gli oggetti di dimensione n si dividono in due famiglie riconducibili ai casi n-1 e n-2.

Ma questa struttura combinatoria non modifica la probabilità del gioco. Usare i numeri di Fibonacci per scegliere la puntata importa una successione matematica interessante dentro una strategia; non crea, da solo, una nuova legge probabilistica favorevole.

Fonte didattica di approfondimento: Brian Hopkins, Hands-On Combinatorics, cap. 3, dove diverse famiglie di composizioni ristrette vengono mostrate come oggetti contati dai numeri di Fibonacci.

Quanto bisogna puntare davvero per recuperare?

Supponiamo di avere perdite pregresse pari a:

L

e di voler ottenere, sulla prossima vittoria, anche un profitto netto aggiuntivo:

$$ T $$

Con quota decimale:

$$ q $$

una puntata S vincente produce profitto netto:

$$ S(q-1) $$

Per recuperare L e ottenere T deve valere:

$$ S(q-1) = L + T $$

quindi:

$$ S = (L+T)/(q-1) $$

Questa è la formula operativa.

Non compare Fibonacci.

Non compare Martingala.

Compare il payoff reale della quota.

Recuperare 30 € a quota 1,728

Dopo due perdite da:

10 + 20
=
30 €

per tornare semplicemente a pareggio serve:

S
=
30 / 0,728
≈
41,21 €

Se volessimo anche ottenere il profitto netto della puntata base da 10 €, cioè:

10 · 0,728
=
7,28 €

servirebbe:

S
=
(30 + 7,28)/0,728
≈
51,21 €

La puntata da 50 € del libro è quindi abbastanza grande da recuperare i 30 €, ma non deriva magicamente dalla successione di Fibonacci.

È soprattutto vicina alla dimensione necessaria imposta dal payout 0,728 netto per euro.

La Martingala classica e la quota 1,728

La Martingala classica raddoppia dopo ogni perdita:

10
20
40
80
160
320
...

Questa logica è normalmente associata a un payoff netto 1:1, cioè a quota decimale 2,00.

Con quota:

1,728

raddoppiare non garantisce nemmeno il recupero completo dopo due perdite.

Percorso:

-10
-20
+40·0,728

produce:

-30
+
29,12
=
-0,88 €

Quindi:

10, 20, 40

non riesce neppure a riportare il ciclo a zero.

È un esempio molto chiaro del perché una progressione non possa essere separata dal payout.

Ora fissiamo il gioco

Per confrontare le strategie dobbiamo farle giocare lo stesso identico gioco.

Riprendiamo l’ipotesi operativa dell’articolo su quote e overround:

tre eventi indipendenti
probabilità vera di ciascuno = 80%
quota di ciascuno = 1,20

La probabilità di vincere la multipla è:

p
=
0,8³
=
0,512
=
51,2%

La quota è:

q
=
1,728

Il valore atteso per ogni euro puntato è:

EV_unitario
=
p·q - 1

quindi:

EV_unitario
=
0,512·1,728 - 1
=
-0,115264

ossia:

-11,5264%

Ogni euro esposto ha quindi, nel modello, una perdita media teorica di circa:

11,53 centesimi

Puntare di più non cambia il segno

Supponiamo che la prossima puntata sia:

$$ S $$

Il suo valore atteso è:

E[profitto | S]
=
S · (p·q - 1)

Nel nostro caso:

E[profitto | S]
=
-0,115264 · S

Se puntiamo:

10 €

l'EV è:

-1,15264 €

Se puntiamo:

50 €

l'EV è:

-5,76320 €

Se puntiamo:

500 €

l'EV è:

-57,632 €

Aumentare la puntata moltiplica sia i possibili guadagni sia l'esposizione al vantaggio negativo.

Ma la puntata dipende dalle perdite precedenti

È proprio qui che spesso nasce il dubbio.

Con Fibonacci o Martingala la puntata non è fissata in anticipo: dipende dai risultati passati.

Ma se il prossimo evento resta indipendente dal passato e mantiene:

$$ \begin{gathered} p = 0,512 \ q = 1,728 \end{gathered} $$

allora, qualunque sia la puntata scelta sulla base della storia precedente:

E[profitto prossimo | storia]
=
puntata(storia) · (-0,115264)

La storia decide quanto denaro esponiamo.

Non cambia la probabilità e il payoff del prossimo evento.

Il valore atteso della sessione

Su una sessione con un numero massimo di giocate, per linearità dell'attesa possiamo scrivere:

E[profitto totale]
=
EV_unitario
·
E[totale puntato]

nel nostro modello, finché la strategia usa soltanto informazioni passate e non modifica le probabilità future.

Quindi una progressione che porta mediamente a puntare più denaro tende anche ad aumentare la perdita media assoluta quando l'edge per unità è negativo.

Non serve che ogni sessione perda.

Serve soltanto che il valore atteso per euro resti negativo.

Tre strategie operative

Confrontiamo:

Puntata fissa
10 € ogni volta

Martingala
10, 20, 40, 80, ...
dopo una perdita
reset a 10 dopo una vittoria

e:

Fibonacci definita
10, 20, 30, 50, 80, ...
dopo una perdita
reset a 10 dopo una vittoria

La regola di reset segue l'impostazione del libro.

Il costo di una sequenza negativa

Con puntata fissa, sei perdite consecutive costano:

6 · 10
=
60 €

Con Martingala:

10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320
=
630 €

e la puntata successiva richiesta sarebbe:

640 €

Con bankroll iniziale di 1.000 €, dopo quelle sei perdite resterebbero:

370 €

quindi non sarebbe possibile effettuare la puntata da 640 €.

Con Fibonacci:

10 + 20 + 30 + 50 + 80 + 130 + 210 + 340
=
870 €

Dopo otto perdite resterebbero:

130 €

mentre la puntata successiva sarebbe:

550 €

Anche qui la progressione si arresterebbe.

“Prima o poi vinco” non significa “posso finanziare l'attesa”

Codenotti e Resta collegano il paradosso di San Pietroburgo ai sistemi di raddoppio e mettono in evidenza un punto operativo semplice: la Martingala promette il recupero soltanto se possiamo continuare a raddoppiare per tutto il tempo necessario.

Con puntata iniziale di 1 €, dopo k perdite consecutive l'esborso cumulato è:

$$ 1+2+4+\cdots+2^{k-1}=2^k-1. $$

Per arrivare alla puntata successiva dobbiamo inoltre poter rischiare:

$$ 2^k. $$

Per esempio, dopo otto perdite:

$$ 2^8-1=255,€ $$

sono già stati persi e la puntata successiva richiesta è:

$$ 256,€. $$

Quindi il capitale necessario cresce esponenzialmente, mentre il guadagno bersaglio del ciclo rimane soltanto 1 €.

La frase:

prima o poi arriverà una vittoria

non risolve il problema. Perché la strategia sia eseguibile dobbiamo riuscire ad arrivare a quel “prima o poi” senza esaurire il bankroll e senza incontrare un limite di puntata.

Fonte di contesto: Bruno Codenotti e Giovanni Resta, La logica dell'incertezza, cap. 5, sezioni sul paradosso di San Pietroburgo e sulla Martingala. La somma geometrica è derivata direttamente qui.

Un gioco equo non salva la Martingala dal limite del tavolo

Un esempio storico discusso da Bollman è particolarmente istruttivo: Polish Roulette, una variante nella quale le piccole puntate sulle chance semplici potevano comportarsi come un gioco sostanzialmente equo, senza il normale vantaggio introdotto dagli zeri.

Questo permette di isolare il problema della Martingala dal house edge.

Supponiamo un gioco davvero 50/50, pagamento netto 1:1, puntata iniziale 1 € e limite massimo del tavolo 100 €.

Dopo sette sconfitte consecutive abbiamo perso:

$$ 1+2+4+8+16+32+64

127,€. $$

La puntata richiesta dalla progressione sarebbe:

$$ 128,€, $$

ma supera il limite.

Se possiamo puntare soltanto 100 € e quella giocata vince, il saldo del ciclo è comunque:

$$ 100-127=-27,€. $$

Questo esempio separa due problemi:

house edge del gioco

e:

rischio strutturale della progressione
+ capitale finito
+ limite massimo di puntata.

Anche portando il primo problema a zero, gli altri non spariscono.

Fonte di contesto storico e numerico: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, §2.2, “Polish Roulette”.

Quanto sono improbabili queste sequenze?

Nel nostro modello la probabilità di perdere una singola multipla è:

1 - 0,512
=
0,488

Se partiamo da un nuovo ciclo, la probabilità di sei perdite consecutive è:

0,488^6
≈
1,35%

Quella di otto perdite consecutive è:

0,488^8
≈
0,322%

Sono eventi poco frequenti, ma non impossibili.

E soprattutto, durante molte sessioni abbiamo molte occasioni di incontrare una sequenza del genere.

Una piccola probabilità per singolo ciclo non equivale a una piccola probabilità per una lunga storia di gioco.

Una streak non crea l'edge che manca

Il caso storico di Monte Carlo ricordato da Kucharski aiuta a separare due idee che nelle progressioni vengono spesso confuse.

Dopo una lunga sequenza di perdite possiamo osservare che la sequenza, vista dall'inizio, era poco probabile. Ma da questo non segue che la prossima giocata abbia cambiato probabilità.

Se il gioco di base mantiene la stessa probabilità p a ogni prova indipendente, allora dopo k sconfitte:

$$ P(\text{vittoria successiva}\mid k\text{ sconfitte})=p. $$

Una progressione può reagire alla streak modificando la puntata:

storia delle perdite
-> puntata successiva diversa

ma non modifica, da sola, il meccanismo del gioco:

storia delle perdite
-/-> probabilità di vincita maggiore

Se invece il processo possiede davvero memoria — come il blackjack senza reinserimento — allora la probabilità futura può cambiare. Ma in quel caso serve un modello della dipendenza reale; non basta osservare una streak e presumere una compensazione.

Questa distinzione è il ponte fra gli articoli 14, 17 e questo articolo 21.

Fonte di contesto: Adam Kucharski, La scommessa perfetta, cap. 1.

Perché una progressione può sembrare convincente proprio dopo una perdita

La matematica spiega che una perdita precedente non migliora il valore atteso della giocata successiva. La psicologia può però spingerci nella direzione opposta.

Buchdahl collega il chasing delle perdite alla più generale avversione alle perdite: perdere una certa somma tende a pesare psicologicamente più del piacere prodotto da un guadagno dello stesso ordine. Questo può rendere molto attraente una regola del tipo:

ho perso
-> aumento la puntata
-> provo a cancellare subito la perdita

Ma il bisogno di recuperare è una proprietà del nostro stato patrimoniale e psicologico, non una proprietà del prossimo evento.

Nel nostro modello, dopo qualunque storia H, se la giocata successiva conserva lo stesso edge unitario negativo e, allora:

$$ E[\text{profitto successivo}\mid H]

S(H),e. $$

La progressione cambia $S(H)$, cioè quanto rischiamo. Non trasforma $e$ da negativo a positivo.

Questo è un buon esempio di come una strategia possa essere psicologicamente comprensibile ma matematicamente inefficace rispetto all'obiettivo dichiarato.

Fonte di contesto: Joseph Buchdahl, Squares & Sharps, Suckers & Sharks, capitolo su rischio, ricompensa, razionalità e loss aversion.

La simulazione

Per rendere visibile la differenza ho preparato anche una simulazione indipendente usata come gate della candidate.

Configurazione:

100.000 sessioni
massimo 100 scommesse per sessione
bankroll iniziale 1.000 €
puntata base 10 €
p(win) = 51,2%
quota = 1,728
seed = 42

Una strategia viene fermata se la prossima puntata richiesta supera il bankroll disponibile.

La simulazione non sostituisce il calcolo dell'EV.

Serve a mostrare come cambiano:

denaro totale puntato
puntata massima
drawdown
probabilità di stop

Puntata fissa

Nella simulazione di preparazione la puntata fissa ha prodotto circa:

totale medio puntato: 1000.00 €
profitto medio:       -114.90 €
stop operativo:       0.00%

Il valore teorico atteso su 100 puntate da 10 € è:

1000 · (-11,5264%)
=
-115,264 €

La simulazione deve oscillare attorno a questo valore.

Martingala

Con la Martingala, nella stessa preparazione:

totale medio puntato: 2133.69 €
profitto medio:       -245.41 €
puntata massima media:280.69 €
stop operativo:       49.59%

La progressione produce molte sessioni in cui una vittoria recupera rapidamente una parte delle perdite.

Ma espone anche molto più capitale.

Fibonacci

Con la progressione Fibonacci definita:

totale medio puntato: 2126.41 €
profitto medio:       -243.63 €
puntata massima media:187.93 €
stop operativo:       17.09%

La crescita è meno aggressiva della Martingala, ma il totale medio puntato resta molto superiore alla strategia fissa.

E, con edge negativo per euro, questo si riflette nella perdita media assoluta.

Perché alcune sessioni sembrano migliori?

Le progressioni possono produrre molte sequenze del tipo:

perdo poco
perdo poco
aumento
vinco
recupero
reset

Questa struttura rende psicologicamente molto visibili i recuperi.

La perdita più grave tende invece a concentrarsi nelle sequenze sfavorevoli più lunghe.

Quindi possiamo avere una strategia che:

recupera spesso

ma:

ogni tanto richiede una puntata enorme

Il numero di sessioni vincenti non è sufficiente per valutare il metodo.

Dobbiamo guardare anche:

profitto medio
capitale esposto
drawdown
limite di bankroll

La legge dei grandi numeri non salva la progressione

Nel libro il ricorso alla legge dei grandi numeri viene usato per sostenere ottimismo dopo una sequenza di perdite.

Ma, nel nostro modello, la legge dei grandi numeri dice qualcosa di diverso.

Se ripetiamo moltissime scommesse con le stesse condizioni, il rendimento medio per euro tende verso:

-11,5264%

non verso un recupero garantito.

La legge dei grandi numeri rende più visibile il valore atteso del gioco.

Non cambia il suo segno.

Se il gioco avesse EV positivo?

Il ragionamento è simmetrico.

Se avessimo davvero:

$$ p\cdot q - 1 > 0 $$

allora ogni euro puntato avrebbe valore atteso positivo.

Una progressione potrebbe ancora modificare:

varianza
drawdown
rischio di stop
crescita del bankroll

ma non sarebbe la progressione a creare l'edge.

L'edge sarebbe già presente nel gioco di base.

Questo collega direttamente le progressioni di puntata al tema delle quote e dell’overround:

prima stimare p e confrontarlo con la quota
poi discutere quanto puntare

non il contrario.

Il C# della simulazione

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

ProgressioniPuntata.cs

L'esempio allegato implementa le tre strategie con la stessa interfaccia concettuale:

puntata = strategia.ProssimaPuntata();

esito = SimulaEsito();

strategia.Registra(esito);

Il motore non cambia:

p(win)
quota
bankroll iniziale
numero massimo di giocate

Cambiano soltanto le regole di sizing.

Questo è importante perché il confronto deve isolare una sola variabile:

come cambia la dimensione della puntata?

Il punto pratico

Una progressione può cambiare radicalmente quando vinciamo e perdiamo denaro.

Può perfino recuperare perfettamente alcune specifiche sequenze.

Ma se ogni euro puntato ha:

EV_unitario < 0

allora una puntata S ha:

EV
=
S · EV_unitario

Nel nostro caso:

EV_unitario
=
-11,5264%

Puntata fissa, Fibonacci e Martingala non cambiano quel numero.

Cambiano:

totale puntato
varianza
puntata massima
drawdown
probabilità di non poter continuare

La domanda operativa corretta è quindi doppia:

Il gioco di base ha davvero valore atteso positivo?

e solo dopo:

Quale politica di puntata gestisce meglio il capitale e il rischio?

Nel prossimo articolo cambieremo completamente prospettiva.

Non cercheremo di modificare la puntata dopo un risultato.

Cercheremo invece di modificare la nostra probabilità stimata quando arriva nuova informazione.

Con due dadi, uno normale e uno truccato, vedremo nascere operativamente il teorema di Bayes.