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Fonti di approfondimento: Adam Kucharski, La scommessa perfetta; Stanford Wong, Sharp Sports Betting; Ed Miller e Matthew Davidow, The Logic of Sports Betting, come fonti secondarie/applicative per quote, break-even, hold e formazione dei prezzi.

Una quota decimale sembra trasformarsi molto facilmente in una probabilità.

Se vediamo:

quota 3,00

possiamo calcolare:

1 / 3,00
=
0,3333
=
33,33%

Questa conversione è corretta come probabilità implicita grezza della quota.

Il problema nasce quando facciamo un passo in più e diciamo:

La probabilità reale dell'evento è quindi 33,33%.

Non è necessariamente vero.

Per capirlo non ci serve una teoria astratta. Basta guardare tutte le quote di uno stesso mercato.

Il caso concreto: 1,20 / 3,00 / 8,00

Come spunto di partenza usiamo un esempio presente nel libro La scommessa vincente di Ivan Sergio.

Per un incontro vengono considerate tre quote:

vittoria    1,20
pareggio    3,00
sconfitta   8,00

Il testo usa il principio:

probabilità ≈ 1 / quota

e associa quindi una quota 1,20 a circa 83,3%.

Proviamo a fare la stessa conversione per tutti e tre gli esiti, che sono mutuamente esclusivi e coprono l'intero incontro.

Convertiamo tutte le quote

Per la vittoria:

1 / 1,20
=
0,833333...
=
83,33%

Per il pareggio:

1 / 3,00
=
0,333333...
=
33,33%

Per la sconfitta:

1 / 8,00
=
0,125
=
12,50%

Ora sommiamo:

83,33%
+
33,33%
+
12,50%
=
129,17%

Abbiamo un problema.

Tre eventi incompatibili che coprono tutti i casi possibili devono avere probabilità complessiva:

100%

non:

129,17%

Quindi i tre valori ottenuti con 1/quota non possono essere contemporaneamente le probabilità reali degli eventi.

Che cosa abbiamo calcolato davvero?

Abbiamo calcolato le probabilità implicite grezze nelle quote.

Per una quota decimale q:

p_implicita
=
1/q

Questo valore è molto utile.

Ci dice la probabilità di pareggio economico associata a quella quota se ignoriamo tutto il resto.

Ma in un mercato con più esiti dobbiamo anche controllare quanto sommano tutte le probabilità implicite.

Nel nostro esempio:

$$ 5/6 + 1/3 + 1/8 $$

portando tutto allo stesso denominatore:

20/24
+
8/24
+
3/24
=
31/24

quindi:

31/24
=
1,291666...

ossia:

129,17%

L'overround

La parte che supera il 100% viene chiamata comunemente overround.

Nel nostro esempio:

129,17%
-
100%
=
29,17%

In forma esatta:

31/24 - 1
=
7/24
≈
29,17%

Questo non significa automaticamente che il bookmaker guadagni esattamente il 29,17% su ogni importo giocato.

L'overround è una misura della somma delle probabilità implicite grezze del mercato.

Il margine economico effettivo dipende anche da come sono costruite le quote e da come vengono distribuite le puntate.

Ma il controllo fondamentale è già sufficiente per smontare l'equazione ingenua:

1/quota = probabilità reale

Togliere il margine: una normalizzazione semplice

Se vogliamo ricavare una distribuzione che torni a sommare esattamente al 100%, possiamo fare una normalizzazione proporzionale.

Attenzione: questa è una tecnica matematica semplice per rimuovere proporzionalmente l'overround.

Non dimostra quali siano le vere probabilità dell'evento e non implica che il bookmaker abbia applicato il margine esattamente in modo proporzionale.

Dividiamo ogni probabilità implicita grezza per la loro somma:

p_no-vig(i)
=
p_implicita(i)
/
Σ p_implicite

Nel nostro esempio la somma è:

$$ 31/24 $$

Per la vittoria:

(5/6) / (31/24)
=
20/31
≈
64,52%

Per il pareggio:

(1/3) / (31/24)
=
8/31
≈
25,81%

Per la sconfitta:

(1/8) / (31/24)
=
3/31
≈
9,68%

Ora:

20/31
+
8/31
+
3/31
=
31/31
=
100%

Abbiamo ottenuto una distribuzione coerente.

Ma dobbiamo chiamarla correttamente:

stima no-vig ottenuta per normalizzazione proporzionale

non:

probabilità vere

Perché la differenza è così grande?

La quota:

1,20

produce una probabilità implicita grezza:

83,33%

ma, dopo la normalizzazione dell'intero mercato:

64,52%

La differenza è enorme perché l'esempio 1,20 / 3,00 / 8,00 contiene un overround molto elevato.

Ed è proprio questo che rende l'esempio didatticamente utile.

Se guardassimo soltanto 1,20, non potremmo vedere il problema.

È necessario osservare tutto il mercato mutuamente esclusivo.

Dalla probabilità no-vig alla quota equa

Una volta ottenuta una probabilità stimata possiamo invertirla di nuovo.

Se:

$$ p = 20/31 $$

la quota equa corrispondente è:

1/p
=
31/20
=
1,55

Per il pareggio:

1 / (8/31)
=
31/8
=
3,875

Per la sconfitta:

1 / (3/31)
=
31/3
≈
10,33

Quindi la stessa normalizzazione proporzionale trasforma:

1,20
3,00
8,00

in quote no-vig:

1,55
3,875
10,33

che corrispondono a probabilità che sommano esattamente al 100%.

Ma la quota equa dipende dalla probabilità vera

Finora abbiamo soltanto rimosso matematicamente l'overround in modo proporzionale.

Per parlare davvero di valore di una scommessa serve una nostra stima della probabilità dell'evento.

Supponiamo che una quota sia:

$$ q = 2,00 $$

La probabilità di pareggio economico è:

1/2
=
50%

Se stimiamo che l'evento abbia probabilità reale:

55%

abbiamo una situazione diversa rispetto a una stima del:

45%

La quota è la stessa.

È la relazione tra quota e probabilità stimata che determina il valore atteso.

Valore atteso di una quota decimale

Puntiamo una unità a quota decimale q.

Se vinciamo, il bookmaker restituisce:

$$ q $$

unità complessive.

Poiché una unità era la nostra puntata iniziale, il profitto netto è:

$$ q - 1 $$

Se perdiamo:

-1

Se riteniamo che la probabilità reale di vittoria sia p, il valore atteso netto è:

EV
=
p(q-1)
+
(1-p)(-1)

Semplificando:

EV
=
pq - 1

Questa formula è estremamente utile.

Il punto di pareggio

Poniamo:

$$ EV = 0 $$

Otteniamo:

pq - 1 = 0

quindi:

$$ p = 1/q $$

Ecco il vero significato operativo di 1/quota.

È la probabilità di break-even associata a quella quota.

Se la nostra probabilità stimata è:

$$ p > 1/q $$

il valore atteso è positivo.

Se:

$$ p < 1/q $$

il valore atteso è negativo.

Questa è una lettura molto più precisa di:

1/quota = probabilità reale

Un esempio semplice

Quota:

2,00

Probabilità implicita di break-even:

50%

Se il nostro modello stima:

$$ p = 55% $$

allora:

EV
=
0,55 · 2
-
1
=
+0,10

cioè:

+10%

per unità puntata nel modello.

Se invece stimiamo:

$$ p = 45% $$

otteniamo:

EV
=
0,45 · 2
-
1
=
-0,10

cioè:

-10%

La stessa quota può quindi essere buona o cattiva a seconda della probabilità reale.

“35 a 1” e “36 per 1” possono descrivere lo stesso pagamento

Nei giochi da casinò incontreremo spesso due convenzioni di payoff che sembrano diverse ma possono rappresentare lo stesso risultato economico.

35 to 1, che in italiano possiamo leggere “35 a 1”, significa:

puntata      1 €
profitto    35 €
ritorno     36 €

36 for 1, cioè “36 per 1”, indica invece direttamente il ritorno totale:

puntata      1 €
ritorno     36 €
profitto    35 €

Quindi:

$$ 35\text{ a }1 \quad\Longleftrightarrow\quad 36\text{ per }1 \quad\Longleftrightarrow\quad q_{decimale}=36. $$

La distinzione è importante perché confondere profitto netto e ritorno lordo sposta di una unità il payoff e produce un valore atteso sbagliato.

Bollman usa entrambe le notazioni analizzando roulette e giochi elettronici, dove le paytable possono essere dichiarate nell'una o nell'altra forma.

Fonte di terminologia: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, cap. 2.

Stesso evento, prezzo diverso: il valore atteso può cambiare segno

Wong insiste su una distinzione pratica molto utile: prima si valuta il prezzo, poi si decide se la probabilità stimata è sufficiente a superare il break-even.

Supponiamo che il nostro modello assegni a un evento:

$$ p=0{,}60. $$

Se troviamo quota:

$$ q=1{,}80, $$

allora:

$$ EV=pq-1=0{,}60\cdot1{,}80-1=+0{,}08. $$

Il modello attribuisce quindi un valore atteso di +8% per unità puntata.

Se lo stesso identico evento è offerto a:

$$ q=1{,}60, $$

otteniamo invece:

$$ EV=0{,}60\cdot1{,}60-1=-0{,}04. $$

Questa volta il valore atteso è -4%.

Non è cambiata la nostra previsione. È cambiato il prezzo.

Questa è la ragione matematica per cui “mi piace questa squadra” e “questa quota ha valore” sono due affermazioni diverse.

Tre quote 1,20 non creano automaticamente un vantaggio

Il libro da cui siamo partiti propone anche tre eventi quotati circa:

1,20
1,20
1,20

La quota combinata è:

1,20^3
=
1,728

Se, per pura ipotesi didattica, ciascun evento avesse davvero probabilità:

$$ 1 / 1,20 = 5/6 $$

e i tre eventi fossero indipendenti, la probabilità congiunta sarebbe:

(5/6)^3
=
125/216
≈
57,87%

Calcoliamo il valore atteso:

EV
=
125/216 · 1,728
-
1

Poiché:

1,728
=
216/125

otteniamo:

$$ EV = 0 $$

In altre parole, se ogni quota fosse perfettamente equa, combinarne tre produrrebbe ancora una scommessa equa.

La combinazione non genera un vantaggio dal nulla.

Se la probabilità vera è più bassa, il problema si amplifica

Supponiamo ora, sempre come esempio puramente matematico, che ciascuno dei tre eventi abbia probabilità reale:

80%

e che siano indipendenti.

La probabilità di vincere la multipla è:

0,8^3
=
51,2%

La quota resta:

1,728

Quindi:

EV
=
0,512 · 1,728
-
1
≈
-11,53%

Una piccola differenza tra:

83,33%

implicito nella quota e:

80%

reale ipotizzato

si accumula nella multipla.

Questo è il motivo per cui non basta dire:

sono tre eventi molto probabili

Dobbiamo chiedere:

sono abbastanza probabili rispetto alle quote offerte?

Modello, mercato e quota sono tre oggetti diversi

Kucharski mostra bene questa distinzione raccontando i mercati ippici a totalizzatore e il lavoro di scommettitori quantitativi come Bill Benter.

Nel totalizzatore le quote si muovono con il denaro puntato dal pubblico. Possono quindi aggregare molta informazione, ma questo non le rende automaticamente una misura perfetta della probabilità reale. Il libro richiama, per esempio, la nota distorsione fra favoriti e sfavoriti osservata in alcuni mercati.

Conviene allora tenere separati tre livelli:

Queste quantità possono essere vicine, ma non sono definizioni equivalenti.

Un mercato può contenere informazione che il nostro modello non possiede. Viceversa, un modello può individuare una distorsione sistematica che il prezzo di mercato non riflette correttamente. Kucharski descrive proprio strategie in cui previsione quantitativa e informazione contenuta nelle quote vengono confrontate o combinate.

Perciò la domanda interessante non è:

Quale delle due è "la probabilità vera" per definizione?

ma:

Quale stima è meglio giustificata dai dati e dalle ipotesi disponibili?

Questo è anche il motivo per cui una quota può essere usata come informazione senza essere scambiata per una verità probabilistica.

Fonte di contesto: Adam Kucharski, La scommessa perfetta, capp. 3–5.

Il prezzo di mercato può contenere informazione senza essere una verità

Miller e Davidow descrivono i mercati più liquidi come processi di price discovery: prezzi iniziali vengono corretti quando arrivano nuove informazioni e nuove scommesse, e altri operatori possono poi copiarli.

Per noi il punto non è descrivere l'industria, ma capire una distinzione statistica:

un prezzo può aggregare informazione
!=
il prezzo è per definizione la probabilità vera

Un mercato molto osservato può incorporare informazioni che il nostro modello non possiede. Viceversa, un prezzo può contenere margine, errori, ritardi o distorsioni.

Per questo conviene mantenere separati:

1. stima del modello;
2. probabilità di break-even della quota;
3. lettura no-vig del mercato;
4. risultato reale, che conosceremo soltanto dopo l'evento.

Il confronto fra queste quantità è informativo proprio perché non sono la stessa cosa.

Fonti di contesto: Wong, capp. 4–5; Miller e Davidow, capp. “Break-even Percentages”, “Market Making” e “Betting The Best Price”.

Il vero problema operativo è stimare p

La formula:

EV = pq - 1

è facile.

La parte difficile è ottenere una stima credibile di:

$$ p $$

La quota del bookmaker non ci consegna automaticamente quella probabilità.

Possiamo usare le quote di mercato come informazione, rimuovere l'overround con un metodo esplicito e confrontare quella stima con un nostro modello.

Ma una stima no-vig non diventa magicamente la verità.

Se vogliamo sostenere:

questa scommessa ha valore positivo

dobbiamo avere una ragione per credere che:

p_reale
>
1/q_offerta

Il calcolo in C#

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

QuoteOverround.cs

Possiamo automatizzare il controllo di un mercato.

readonly record struct EsitoQuota(
    string Nome,
    double Quota);

La probabilità implicita grezza è:

static double ProbabilitaImplicita(
    double quota)
{
    if (quota <= 1.0)
        throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(quota));

    return 1.0 / quota;
}

Per il nostro esempio:

var mercato = new[]
{
    new EsitoQuota("Vittoria", 1.20),
    new EsitoQuota("Pareggio", 3.00),
    new EsitoQuota("Sconfitta", 8.00)
};

Sommiamo:

double somma =
    mercato.Sum(x =>
        ProbabilitaImplicita(x.Quota));

double overround =
    somma - 1.0;

Otteniamo circa:

somma implicite = 129,1667%
overround        = 29,1667%

Normalizzazione proporzionale

foreach (EsitoQuota esito in mercato)
{
    double grezza =
        ProbabilitaImplicita(esito.Quota);

    double noVig =
        grezza / somma;

    double quotaEqua =
        1.0 / noVig;

    Console.WriteLine(
        $"{esito.Nome}: " +
        $"grezza={grezza:P4}, " +
        $"no-vig={noVig:P4}, " +
        $"quota equa={quotaEqua:F3}");
}

Il programma produce valori vicini a:

Vittoria:
grezza 83,33%
no-vig 64,52%
quota equa 1,550

Pareggio:
grezza 33,33%
no-vig 25,81%
quota equa 3,875

Sconfitta:
grezza 12,50%
no-vig 9,68%
quota equa 10,333

Calcoliamo il valore atteso

static double ValoreAtteso(
    double probabilitaStimata,
    double quota)
{
    if (probabilitaStimata < 0.0 ||
        probabilitaStimata > 1.0)
    {
        throw new ArgumentOutOfRangeException(
            nameof(probabilitaStimata));
    }

    if (quota <= 1.0)
        throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(quota));

    return
        probabilitaStimata * quota
        -
        1.0;
}

Per:

$$ \begin{gathered} p = 55% \ q = 2,00 \end{gathered} $$

otteniamo:

+10%

Per:

$$ \begin{gathered} p = 45% \ q = 2,00 \end{gathered} $$

otteniamo:

-10%

Il punto pratico

Una quota decimale q contiene una probabilità implicita grezza:

$$ 1/q $$

ma questo valore non va automaticamente chiamato probabilità reale.

In un mercato completo dobbiamo prima controllare:

$$ \sum 1/q_i $$

Se la somma supera 1, esiste un overround.

Nel caso:

$$ 1,20 / 3,00 / 8,00 $$

otteniamo:

Σ p_implicite
=
129,17%

e quindi:

overround
=
29,17%

Una normalizzazione proporzionale produce una possibile lettura no-vig:

64,52%
25,81%
9,68%

ma nemmeno questa è automaticamente la probabilità vera.

Per decidere se una quota ha valore dobbiamo confrontarla con una stima indipendente della probabilità:

EV
=
p · q - 1

Il vero significato di:

$$ 1/q $$

è quindi soprattutto questo:

è la probabilità di break-even della quota.

Nel prossimo articolo useremo proprio questa idea per affrontare un'altra promessa molto comune nel mondo delle scommesse:

Se aumento la puntata dopo una perdita, posso recuperare sistematicamente?

Confronteremo puntata fissa, Fibonacci e Martingala sullo stesso gioco e misureremo cosa cambia davvero: valore atteso, capitale richiesto, drawdown e rischio di esaurire il bankroll.