Molti problemi affrontati finora potevano essere descritti con un singolo spazio campionario.

Con due dadi, per esempio, avevamo:

36

coppie ordinate equiprobabili.

Ma alcune regole di gioco non si risolvono dopo un solo lancio.

Il Craps è un ottimo esempio perché una giocata sulla Pass Line può:

vincere subito
perdere subito
oppure entrare in uno stato intermedio

nel quale la probabilità successiva dipende dal point stabilito.

Per calcolare la probabilità complessiva dobbiamo quindi scomporre il problema in stati.

Il modello che useremo

flowchart LR
    C["Come-out"] -->|7 o 11| W["Vittoria"]
    C -->|2, 3 o 12| L["Perdita"]
    C -->|4, 5, 6, 8, 9 o 10| P["Point stabilito"]
    P -->|esce il point| W
    P -->|esce 7| L
    P -->|altra somma| P

La Pass Line non è quindi un evento di un solo lancio: il come-out può chiudere la giocata oppure trasferirla in uno stato point.

Consideriamo la regola standard della Pass Line senza puntate addizionali.

Nel come-out roll:

7 o 11

vincono immediatamente.

2, 3 o 12

perdono immediatamente.

Se esce:

4, 5, 6, 8, 9 o 10

quel numero diventa il point.

Da quel momento si continua a lanciare finché esce:

il point

oppure:

7

Se esce prima il point, la Pass Line vince.

Se esce prima 7, perde.

Tutti gli altri risultati non chiudono la giocata e lasciano invariato lo stato.

Torniamo ai 36 esiti dei due dadi

Le somme dei due dadi hanno molteplicità:

La somma delle molteplicità è:

36

Questa distribuzione, già costruita nei primi articoli, sarà la base dell'intero calcolo.

Vincita immediata al come-out

La Pass Line vince subito con:

7

oppure:

11

I modi favorevoli sono:

6 + 2
=
8

Quindi:

P(vittoria immediata)
=
8/36
=
2/9
≈
22,22%

Perdita immediata al come-out

La perdita immediata avviene con:

2
3
12

Le molteplicità sono:

1 + 2 + 1
=
4

quindi:

P(perdita immediata)
=
4/36
=
1/9
≈
11,11%

Rimangono i risultati che stabiliscono un point.

Il point 4

Il 4 può uscire in:

3

modi su 36.

Quindi:

P(point 4)
=
3/36
=
1/12

Una volta stabilito il point 4, la giocata termina soltanto quando compare:

4

oppure:

7

Il 4 ha:

3 modi

Il 7 ha:

6 modi

Gli altri risultati possono comparire, anche molte volte, ma non cambiano lo stato.

La domanda diventa quindi:

Tra 4 e 7, quale dei due compare per primo?

Perché possiamo ignorare temporaneamente gli altri risultati

Su ogni lancio nello stato point 4 abbiamo:

3 modi -> 4
6 modi -> 7
27 modi -> altro

Gli esiti "altro" non decidono nulla.

Se esce un altro valore, siamo esattamente nello stesso stato di prima.

Possiamo quindi comprimere il processo e guardare soltanto il primo lancio che appartiene all'insieme:

{4, 7}

Condizionando su questo evento, le probabilità diventano proporzionali ai rispettivi modi:

P(4 prima del 7 | point 4)
=
3 / (3+6)
=
1/3

Quindi, una volta stabilito il point 4:

P(vittoria | point 4)
=
1/3

Il point 10 è simmetrico

Il 10 ha anch'esso:

3

modi.

Perciò:

P(vittoria | point 10)
=
3/(3+6)
=
1/3

I point 4 e 10 sono matematicamente equivalenti.

Il point 5

Il 5 ha:

4

modi.

Il 7 continua ad averne:

6

Quindi:

P(vittoria | point 5)
=
4/(4+6)
=
4/10
=
2/5
=
40%

Il 9 ha la stessa molteplicità e quindi:

P(vittoria | point 9)
=
2/5

Il point 6

Il 6 ha:

5

modi.

Quindi:

P(vittoria | point 6)
=
5/(5+6)
=
5/11
≈
45,45%

Lo stesso vale per il point 8:

P(vittoria | point 8)
=
5/11

Questi sono i point più favorevoli tra quelli possibili perché hanno una molteplicità più vicina a quella del 7.

Riassumiamo gli stati point

Le probabilità condizionate di vincita sono:

Ma questi valori da soli non bastano.

Dobbiamo anche pesare ogni stato per la probabilità che venga effettivamente stabilito al come-out.

Probabilità di entrare nei diversi point

Al come-out:

P(point 4)  = 3/36
P(point 5)  = 4/36
P(point 6)  = 5/36
P(point 8)  = 5/36
P(point 9)  = 4/36
P(point 10) = 3/36

Quindi la probabilità di vincere attraverso il point 4 è:

P(point 4)
·
P(vittoria | point 4)

ossia:

$$ 3/36 \cdot 1/3 = 1/36 $$

Ricomponiamo tutti i percorsi di vittoria

La vittoria può avvenire in modi mutuamente esclusivi:

vittoria immediata al come-out

oppure:

point 4 e poi vittoria
point 5 e poi vittoria
point 6 e poi vittoria
point 8 e poi vittoria
point 9 e poi vittoria
point 10 e poi vittoria

Quindi:

P(vittoria)
=
P(vittoria immediata)
+
Σ P(point)·P(vittoria | point)

Sostituendo:

P(vittoria)
=
8/36
+
3/36·1/3
+
4/36·2/5
+
5/36·5/11
+
5/36·5/11
+
4/36·2/5
+
3/36·1/3

Il risultato esatto è:

244/495
≈
49,2929%

Quindi la probabilità di perdere è:

251/495
≈
50,7071%

Le due probabilità sommano naturalmente a 1.

Perché la probabilità non è semplicemente 8/12?

Guardando il come-out potremmo osservare che tra i risultati che chiudono subito la giocata:

8 modi vincono
4 modi perdono

e concludere:

$$ 8/(8+4) = 2/3 $$

Ma questo ignorerebbe tutti i lanci che stabiliscono un point.

Questi casi non sono "neutri": aprono un nuovo processo che può successivamente vincere o perdere.

È proprio questo il motivo per cui serve una decomposizione per stati.

Una macchina a stati molto semplice

Possiamo pensare alla Pass Line come a una macchina con questi stati:

ComeOut
Point4
Point5
Point6
Point8
Point9
Point10
Vinta
Persa

Dal ComeOut possiamo andare direttamente a:

Vinta
Persa

oppure a uno dei sei stati point.

Da ciascun point possiamo restare nello stesso stato, vincere oppure perdere.

Il problema di probabilità consiste nel trovare la probabilità di raggiungere:

Vinta

prima di:

Persa

Un'equazione ricorsiva per il point 4

Possiamo verificare 1/3 anche senza condizionare direttamente.

Chiamiamo:

q4

la probabilità di vincere partendo dal point 4.

Al lancio successivo:

$$ 3/36 $$

dei casi vincono subito.

$$ 6/36 $$

perdono.

$$ 27/36 $$

lasciano ancora lo stato point 4.

Quindi:

q4
=
3/36
+
27/36 · q4

Portando il termine a sinistra:

$$ q4 \cdot (1 - 27/36) = 3/36 $$

quindi:

$$ q4 \cdot 9/36 = 3/36 $$

e:

q4
=
1/3

La stessa struttura funziona per ogni point.

La stessa probabilità come serie geometrica infinita

L'equazione ricorsiva compatta un fatto che vale la pena vedere esplicitamente: una decisione della Pass Line può richiedere un numero arbitrariamente grande di lanci.

Con point 4, ogni lancio può:

4  -> vittoria      3/36
7  -> perdita       6/36
altro -> si continua 27/36

Per vincere al primo lancio utile abbiamo:

$$ \frac3{36}. $$

Per avere un lancio neutro e poi vincere:

$$ \frac{27}{36}\frac3{36}. $$

Per due lanci neutri e poi vincere:

$$ \left(\frac{27}{36}\right)^{2}\frac3{36}. $$

Continuando:

$$ q_4

\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{27}{36}\right)^k \frac3{36}. $$

Questa è una serie geometrica convergente con ragione 27/36, quindi:

$$ q_4

\frac{3/36}{1-27/36}

\frac13. $$

Il risultato coincide con il metodo più semplice “ignora temporaneamente i risultati neutri e confronta 4 con 7”. La serie geometrica ci fa però vedere dove finiscono tutti i possibili percorsi lunghi.

È una tecnica generale: quando uno stato può ripetersi con probabilità costante prima di una decisione, una somma infinita può spesso essere compressa in una frazione semplice.

Fonte di contesto: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, prefazione e cap. 3, dove la durata non limitata delle decisioni del Craps viene trattata tramite serie geometriche convergenti.

Formula generale per un point

Se il point può essere ottenuto in:

w

modi, mentre il 7 ha sempre:

6

modi, la probabilità di fare il point prima del 7 è:

$$ w/(w+6) $$

Per:

$$ w = 3 $$

otteniamo:

$$ 1/3 $$

Per:

$$ w = 4 $$

otteniamo:

$$ 2/5 $$

Per:

$$ w = 5 $$

otteniamo:

$$ 5/11 $$

Dal valore atteso al vantaggio matematico

Supponiamo che la Pass Line paghi alla pari nel modello base:

+1 unità se vince
-1 unità se perde

Il valore atteso per unità puntata è:

$$ E[X] = 244/495 \cdot (+1) + 251/495 \cdot (-1) $$

quindi:

$$ E[X] = (244 - 251)/495 = -7/495 $$

ossia circa:

-1,4141%

Il corrispondente vantaggio matematico del banco è:

7/495
≈
1,4141%

Ancora una volta, questo è un valore medio teorico per il modello, non la previsione di una singola giocata.

Un dettaglio importante: stiamo modellando soltanto la Pass Line base

Nel Craps esistono altre puntate e, dopo la creazione di un point, possono esistere puntate addizionali con regole diverse.

Non fanno parte di questo articolo.

Il nostro obiettivo è usare la Pass Line come esempio di probabilità che attraversa più stati.

Aggiungere altre puntate cambierebbe il modello e richiederebbe analisi separate.

Il calcolo in C#

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

CrapsPassLine.cs

Possiamo codificare direttamente le molteplicità delle somme:

static int Modi(int somma) =>
    somma switch
    {
        2 => 1,
        3 => 2,
        4 => 3,
        5 => 4,
        6 => 5,
        7 => 6,
        8 => 5,
        9 => 4,
        10 => 3,
        11 => 2,
        12 => 1,
        _ => throw new ArgumentOutOfRangeException(
            nameof(somma))
    };

La probabilità di vincere da un point è:

static double ProbabilitaVittoriaDalPoint(
    int point)
{
    int modiPoint =
        Modi(point);

    int modiSette =
        Modi(7);

    return
        (double)modiPoint
        /
        (modiPoint + modiSette);
}

Per il point 6:

Console.WriteLine(
    ProbabilitaVittoriaDalPoint(6));

otteniamo:

5/11
≈
0,454545

Ricomporre la Pass Line

Possiamo poi calcolare:

double vittoria =
    8.0 / 36.0;

e aggiungere, per ciascun point:

vittoria +=
    Modi(point) / 36.0
    *
    ProbabilitaVittoriaDalPoint(point);

Il risultato deve essere vicino a:

244/495
≈
0,492929

Una simulazione a stati

Il Craps è anche un buon esempio per una simulazione Monte Carlo, perché ogni giocata può avere una lunghezza diversa.

Una simulazione deve:

1. eseguire il come-out;
2. chiudere subito con 7, 11, 2, 3 o 12;
3. altrimenti memorizzare il point;
4. continuare a lanciare finché compare il point o 7.

Con moltissime giocate simulate, la frequenza delle vittorie dovrebbe avvicinarsi a:

244/495
≈
49,2929%

Qui la simulazione è interessante perché verifica un processo multi-stato, ma il risultato matematico esatto rimane disponibile.

Perché questo problema è diverso dai precedenti

La binomiale aveva un numero prefissato di prove.

La geometrica aspettava il primo successo.

Il blackjack aggiornava la composizione residua.

La Pass Line del Craps introduce invece una struttura di stati:

lo stesso lancio dei dadi

ha significati diversi a seconda dello stato corrente.

Un 5:

al come-out

stabilisce il point 5.

Un 5:

quando il point è 5

fa vincere.

Un 5:

quando il point è 6

non cambia nulla.

Il risultato fisico è lo stesso, ma la conseguenza dipende dallo stato.

Il punto pratico

La probabilità complessiva della Pass Line non si trova guardando un solo lancio.

Dobbiamo:

calcolare i risultati immediati

poi:

calcolare la probabilità di entrare in ogni point

poi:

calcolare la probabilità di vincere da ogni point

e infine:

ricomporre tutti i percorsi mutuamente esclusivi

Il risultato è:

P(vittoria)
=
244/495
≈
49,2929%

e:

P(perdita)
=
251/495
≈
50,7071%

Per una puntata base alla pari:

EV
=
-7/495
≈
-1,4141%

Questo articolo mostra perché alcuni problemi di probabilità sono più facili da capire quando smettiamo di cercare una singola formula e descriviamo invece il sistema come una sequenza di stati.

Nel prossimo articolo, che chiude il percorso introduttivo, confronteremo finalmente in modo sistematico tre strumenti che abbiamo usato più volte:

formula esatta
enumerazione completa
Monte Carlo

Vedremo quando conviene usare ciascuno, quali errori evitare e perché una simulazione non deve sostituire un calcolo esatto quando quest'ultimo è praticabile.