Con i dadi abbiamo incontrato più volte prove indipendenti.

Dopo aver lanciato un dado, la probabilità di ottenere 6 al lancio successivo resta:

$$ 1/6 $$

Nel blackjack la situazione è diversa.

Le carte vengono estratte da un mazzo o da un sabot e non vengono rimesse immediatamente dentro dopo ogni carta.

Ogni carta che esce modifica quindi la popolazione residua.

La domanda corretta non è più:

Qual è la probabilità teorica di pescare un certo valore da un mazzo completo?

ma:

Quante carte di quel tipo sono ancora compatibili con lo stato che conosco, e quante carte restano in totale?

È un problema di probabilità condizionata dalla composizione residua.

Riduciamo le carte ai valori utili per il blackjack

Per questo articolo useremo prima un solo mazzo standard da 52 carte.

Ai fini del valore di una singola carta possiamo raggruppare:

A
2
3
4
5
6
7
8
9
10-valore

dove:

10-valore
=
10, J, Q, K

In un mazzo abbiamo:

4 assi
4 carte di valore 2
...
4 carte di valore 9
16 carte da 10-valore

Il totale è:

9 · 4
+
16
=
52

Questo raggruppamento perde l'identità di seme e figura, ma conserva esattamente ciò che ci serve per molti calcoli di pescata nel blackjack.

Prima di vedere qualunque carta

Da un mazzo completo la probabilità che la prossima carta abbia valore 10 è:

16/52
=
4/13
≈
30,77%

Questa percentuale, però, è valida soltanto per quella composizione.

Appena osserviamo carte, numeratore e denominatore cambiano.

Una mano hard 16

Supponiamo di avere:

10♠
6♣

Il totale è:

16

senza un asso utilizzabile come 11.

Questa viene chiamata una mano hard 16.

Se chiediamo una sola carta, quali valori fanno sballare?

Da 16:

A -> 17
2 -> 18
3 -> 19
4 -> 20
5 -> 21

sono compatibili con un totale non superiore a 21.

Invece:

6
7
8
9
10-valore

producono un totale superiore a 21.

Quindi, per questa specifica domanda, le carte "bust" sono tutti i valori da 6 in su.

Quante carte farebbero sballare da un mazzo completo?

Prima di sottrarre le carte già viste, le carte da bust sarebbero:

4 sei
4 sette
4 otto
4 nove
16 dieci-valore

per un totale di:

4 + 4 + 4 + 4 + 16
=
32

Ma non possiamo usare:

$$ 32/52 $$

per la nostra mano.

Due carte sono già state rimosse dal mazzo:

un 6
un 10-valore

ed entrambe appartenevano all'insieme delle carte da bust.

Probabilità di bust considerando soltanto la nostra mano

Dopo aver osservato:

10♠
6♣

restano:

50

carte sconosciute.

Le carte da bust rimaste sono:

32 - 2
=
30

Quindi:

P(bust alla prossima carta
  | mano 10+6)
=
30/50
=
60%

La probabilità non è una proprietà fissa del totale 16.

Dipende dalle carte che hanno prodotto quel totale e, più in generale, da tutte le informazioni già osservate.

Aggiungiamo la carta scoperta del dealer

Nel blackjack vediamo anche una carta del dealer.

Supponiamo che la carta scoperta sia:

5♦

Questa carta viene rimossa dal gruppo delle carte non viste.

Ma il 5 non appartiene all'insieme delle carte che fanno sballare un hard 16.

Quindi il numeratore resta:

30

mentre il denominatore scende:

50 -> 49

La probabilità diventa:

30/49
≈
61,22%

Osservare una carta sicura altrove ha quindi aumentato leggermente la quota relativa di carte pericolose rimaste.

Se invece il dealer mostra un 10-valore

Manteniamo la stessa nostra mano:

10♠ 6♣

ma supponiamo che il dealer mostri una carta da 10-valore.

Ora viene rimossa un'altra carta che avrebbe fatto sballare il nostro hard 16.

Il denominatore è ancora:

49

ma le carte da bust rimaste sono:

29

Quindi:

P(bust
  | mano 10+6,
    dealer 10-valore)
=
29/49
≈
59,18%

Abbiamo la stessa mano da 16, ma due stati osservati differenti:

dealer 5
-> 30/49
≈ 61,22%

dealer 10-valore
-> 29/49
≈ 59,18%

La probabilità è cambiata perché è cambiata la composizione residua.

Non è gambler's fallacy

Questo comportamento non contraddice l'articolo sulla distribuzione geometrica.

Con il dado, ogni prova ricominciava nelle stesse condizioni.

Qui invece una carta osservata viene fisicamente rimossa dal mazzo o dal sabot.

Le prove non sono indipendenti.

Se esce una carta da 10-valore, ce n'è davvero una in meno disponibile per le pescate successive.

Il passato modifica lo stato.

Questa è esattamente la situazione nella quale non dobbiamo applicare l'idea "il passato non conta".

Da Baldwin a Thorp: quando la memoria diventa informazione

Kucharski ricostruisce bene il passaggio storico che rende questo punto concreto.

Roger Baldwin e gli altri membri del gruppo di Aberdeen avevano studiato una strategia di base per il blackjack. Edward Thorp si chiese poi che cosa succedesse rinunciando all'ipotesi semplificatrice di trattare ogni nuova pescata come se il mazzo fosse sempre nella stessa situazione iniziale.

La risposta è precisamente il meccanismo che stiamo modellando:

carte osservate
-> composizione residua diversa
-> probabilità future diverse

Tenere traccia delle carte già distribuite permette quindi di ottenere informazione sulla parte ancora nel sabot. Non perché una carta "debba" uscire dopo essere mancata a lungo, ma perché le carte già uscite non sono più disponibili.

Questo chiarisce anche perché il conteggio delle carte è concettualmente diverso dalla gambler's fallacy:

Thorp trasformò questa osservazione in sistemi di conteggio utilizzabili al tavolo. In questo articolo restiamo un passo prima: vogliamo vedere perché il principio funziona, descrivendo direttamente la composizione residua invece di comprimerla in un indicatore.

Fonte di contesto: Adam Kucharski, La scommessa perfetta, cap. 3, "Da Los Alamos a Monte Carlo".

L'approssimazione a mazzo infinito: utile finché non studiamo la composizione

Per semplificare alcuni conti si può usare una approssimazione a mazzo infinito: immaginiamo che ogni nuova carta venga estratta da una composizione che, in pratica, non cambia mai.

È un modello comodo perché rende le pescate indipendenti. Ma proprio per questo non può descrivere il fenomeno che ci interessa qui: l'informazione contenuta nelle carte già uscite.

Bollman mostra quanto può cambiare persino la probabilità di un blackjack naturale in un singolo mazzo.

Da un mazzo fresco, ignorando l'ordine delle due carte ma contando i due possibili ordini Asso/10-valore:

$$ P(\text{naturale})

2\cdot\frac4{52}\cdot\frac{16}{51} \approx4{,}83%. $$

Se è già stato rimosso un asso:

$$ P(\text{naturale}\mid\text{un asso rimosso})

2\cdot\frac3{51}\cdot\frac{16}{50} \approx3{,}76%. $$

Se invece è stato rimosso un 2, cioè una carta che non entra in un naturale:

$$ P(\text{naturale}\mid\text{un 2 rimosso})

2\cdot\frac4{51}\cdot\frac{16}{50} \approx5{,}02%. $$

Una sola carta osservata può quindi spostare la probabilità in direzioni opposte a seconda del suo valore.

L'approssimazione a mazzo infinito resta utile quando vogliamo un conto rapido e l'effetto delle rimozioni è trascurabile per la domanda corrente. Va invece abbandonata quando l'oggetto stesso dell'analisi è il card counting o, più in generale, la composizione residua.

Fonte matematica/applicativa: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, §5.3 “Card Counting”.

Anche la probabilità di una carta da 10 cambia

Da un mazzo completo:

P(10-valore)
=
16/52
≈
30,77%

Dopo aver osservato la nostra mano:

10♠ 6♣

restano:

15 carte da 10-valore

su:

50

quindi:

15/50
=
30%

Se il dealer mostra un 5, togliamo una carta non-10:

15/49
≈
30,61%

Se invece mostra un'altra carta da 10-valore:

14/49
=
2/7
≈
28,57%

La frase:

"nel blackjack una carta da 10 vale circa il 30,8%"

è quindi soltanto un valore iniziale di riferimento.

La probabilità effettiva dipende dallo stato residuo.

La formula generale della composizione residua

Supponiamo che per ogni valore v conosciamo:

c_v

carte ancora possibili nel sabot.

Il numero totale di carte residue è:

N
=
Σ c_v

La probabilità che la prossima carta abbia valore v è:

$$ P(v) = c_v / N $$

Se un evento favorevole comprende più valori, per esempio:

6, 7, 8, 9, 10-valore

sommiamo i conteggi residui:

P(bust)
=
c6 + c7 + c8 + c9 + c10
--------------------------
N

Non c'è una nuova formula misteriosa.

È ancora:

casi favorevoli / casi possibili

ma i casi vengono aggiornati in base allo stato.

Le carte note contano tutte

Nel Texas Hold'em dell'articolo precedente sottraevamo:

2 carte personali
+
3 carte del flop

per arrivare a 47 carte non viste.

Nel blackjack dobbiamo fare lo stesso tipo di ragionamento.

Contano tutte le carte il cui valore conosciamo e che sappiamo essere già fuori dalla popolazione disponibile:

la nostra mano
la carta scoperta del dealer
eventuali altre carte visibili
carte già giocate e osservate,
se il sabot non è stato rimescolato

Il modello dipende quindi dall'informazione disponibile.

E la carta coperta del dealer?

Fisicamente, una carta coperta già distribuita non è più nel sabot.

Ma se non ne conosciamo il valore, non possiamo sottrarre un valore specifico come se sapessimo quale carta sia.

Dal punto di vista probabilistico del giocatore, quella carta fa parte dell'incertezza sulle carte non note.

Se non possediamo altre informazioni, la distribuzione marginale della prossima carta può essere calcolata usando la composizione compatibile con le sole carte note.

Regole che forniscono informazioni ulteriori, per esempio controlli del dealer che escludono determinate combinazioni, possono introdurre ulteriore condizionamento.

Questi dettagli dipendono dalle regole del gioco e vanno modellati esplicitamente: non devono essere nascosti dentro una percentuale generica.

Il sabot con più mazzi

Nei casinò il blackjack viene spesso giocato con più mazzi raccolti nello stesso sabot.

Il principio non cambia.

Con sei mazzi abbiamo inizialmente:

6 · 52
=
312

carte.

Le carte da 10-valore sono:

6 · 16
=
96

quindi, all'inizio:

96/312
=
4/13
≈
30,77%

La proporzione iniziale è la stessa del singolo mazzo.

Ma anche qui cambia appena vengono rimosse carte.

Stesso numero di carte uscite, composizione diversa

Supponiamo, come esempio puramente matematico, che da un sabot di sei mazzi siano già state osservate 20 carte.

Restano:

312 - 20
=
292

carte.

Nel primo stato immaginiamo che tra le 20 carte uscite ci siano:

8 carte da 10-valore

Ne restano:

96 - 8
=
88

quindi:

P(10-valore)
=
88/292
=
22/73
≈
30,14%

Nel secondo stato, sempre dopo 20 carte osservate, immaginiamo che siano uscite soltanto:

2 carte da 10-valore

Ne restano:

94

e quindi:

P(10-valore)
=
94/292
=
47/146
≈
32,19%

Abbiamo lo stesso numero di carte residue:

292

ma probabilità diverse perché la composizione è diversa.

Questo è il punto centrale dell'intero articolo.

Un conteggio compresso non è lo stato completo

Se volessimo descrivere esattamente la composizione residua dovremmo conoscere quanti:

assi
2
3
...
9
10-valore

restano.

Qualunque indicatore più sintetico comprime parte di questa informazione.

I sistemi di conteggio delle carte, per esempio, cercano di riassumere la composizione in uno o pochi numeri utili.

Ma non sono l'oggetto di questo articolo.

Qui ci interessa il principio matematico sottostante:

le probabilità cambiano perché cambiano realmente i conteggi delle carte residue.

Probabilità di bust e strategia non sono la stessa cosa

Sapere:

P(bust se pesco)

non basta, da solo, per decidere quale azione sia migliore.

Una decisione completa può dipendere da:

regole del tavolo
carta del dealer
possibili risultati del dealer
double
split
surrender
payoff
composizione residua

e richiede un confronto di valori attesi delle azioni.

Questo articolo si limita a una domanda più fondamentale:

come cambia la distribuzione della prossima carta?

È importante non trasformare una singola probabilità in una strategia completa.

Un modello C# della composizione

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

ComposizioneBlackjack.cs

Possiamo rappresentare i valori blackjack con un enum:

enum ValoreBlackjack
{
    Asso = 1,
    Due = 2,
    Tre = 3,
    Quattro = 4,
    Cinque = 5,
    Sei = 6,
    Sette = 7,
    Otto = 8,
    Nove = 9,
    Dieci = 10
}

Qui:

Dieci

rappresenta tutte le carte:

10, J, Q, K

perché hanno lo stesso valore nella domanda che stiamo studiando.

Costruiamo uno stato residuo

Per un numero qualsiasi di mazzi:

static Dictionary<ValoreBlackjack, int>
    CreaComposizione(int mazzi)
{
    if (mazzi <= 0)
        throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(mazzi));

    var residuo =
        new Dictionary<ValoreBlackjack, int>();

    for (int valore = 1; valore <= 9; valore++)
    {
        residuo[(ValoreBlackjack)valore] =
            4 * mazzi;
    }

    residuo[ValoreBlackjack.Dieci] =
        16 * mazzi;

    return residuo;
}

Con un mazzo il totale è 52; con sei mazzi è 312.

Rimuoviamo le carte osservate

static void Rimuovi(
    Dictionary<ValoreBlackjack, int> residuo,
    ValoreBlackjack valore)
{
    if (!residuo.TryGetValue(
            valore,
            out int disponibili) ||
        disponibili <= 0)
    {
        throw new InvalidOperationException(
            "Carta non disponibile nello stato residuo.");
    }

    residuo[valore] =
        disponibili - 1;
}

Per la nostra mano:

Rimuovi(
    residuo,
    ValoreBlackjack.Dieci);

Rimuovi(
    residuo,
    ValoreBlackjack.Sei);

Lo stato è cambiato in modo esplicito.

Probabilità della prossima carta

static double Probabilita(
    IReadOnlyDictionary<ValoreBlackjack, int> residuo,
    params ValoreBlackjack[] favorevoli)
{
    int totale =
        residuo.Values.Sum();

    int casiFavorevoli =
        favorevoli.Sum(v =>
            residuo[v]);

    return
        (double)casiFavorevoli
        / totale;
}

Per un hard 16:

ValoreBlackjack[] bust =
{
    ValoreBlackjack.Sei,
    ValoreBlackjack.Sette,
    ValoreBlackjack.Otto,
    ValoreBlackjack.Nove,
    ValoreBlackjack.Dieci
};

Dopo aver rimosso 10 e 6:

double pBust =
    Probabilita(
        residuo,
        bust);

otteniamo:

60%

Aggiungiamo la carta del dealer

Se il dealer mostra 5:

Rimuovi(
    residuo,
    ValoreBlackjack.Cinque);

la probabilità diventa:

30/49
≈
61,2245%

Se ricreiamo lo stato e rimuoviamo invece un altro 10-valore:

29/49
≈
59,1837%

Il codice non contiene percentuali hard-coded.

Le probabilità emergono direttamente dalla composizione.

Verifichiamo con enumerazione diretta

Per il caso:

10 + 6
dealer 5

possiamo anche costruire una lista astratta delle 49 carte residue e contare quante appartengono ai valori da bust.

Il conteggio deve produrre:

30 carte bust
49 carte totali

Per:

10 + 6
dealer 10-valore

deve produrre:

29 carte bust
49 carte totali

Questa è un'enumerazione esatta, non Monte Carlo.

La simulazione ha un ruolo diverso

Una volta noto lo stato residuo potremmo simulare milioni di pescate dalla stessa composizione e osservare una frequenza empirica vicina a:

$$ 30/49 $$

oppure:

$$ 29/49 $$

Ma non otterremmo una risposta migliore.

Quando la domanda riguarda una sola carta e conosciamo i conteggi residui, il rapporto esatto è immediato.

La simulazione serve eventualmente come verifica didattica o quando il processo futuro diventa molto più complesso.

Il punto pratico

Nel blackjack le probabilità non rimangono fisse mentre le carte escono.

Con un hard 16 formato da:

10 + 6

dopo aver osservato soltanto la nostra mano:

P(bust)
=
30/50
=
60%

Se il dealer mostra 5:

P(bust)
=
30/49
≈
61,22%

Se mostra invece una carta da 10-valore:

P(bust)
=
29/49
≈
59,18%

La mano del giocatore è la stessa.

È cambiata la composizione delle carte residue.

In generale:

P(evento alla prossima carta)
=
carte residue favorevoli
-------------------------
carte residue totali

e ogni carta osservata può modificare numeratore, denominatore o entrambi.

Con questo articolo si completa il blocco dedicato a poker, outs e composizione residua nel blackjack.

Siamo partiti dallo spazio completo delle mani di poker, siamo passati agli out del Texas Hold'em e siamo arrivati a un gioco in cui la distribuzione futura dipende continuamente dallo stato residuo.

Nel prossimo articolo studieremo un problema ancora diverso: il Craps, dove la probabilità complessiva di una giocata richiede di attraversare più stati possibili prima di conoscere il risultato finale.