16 - Texas Hold'em: outs, turn e river senza scorciatoie
27-08-2026
Probabilità e combinatoria nei giochi
MATH
Nel poker a cinque carte dell'articolo precedente la mano era già completa.
Avevamo cinque carte e potevamo classificare il risultato.
Nel Texas Hold'em il problema è diverso: spesso dobbiamo ragionare quando alcune carte sono già note e altre devono ancora arrivare.
Questo rende naturale una domanda pratica:
Quante carte ancora nel mazzo possono completare il risultato che sto cercando?
Queste carte vengono comunemente chiamate out.
Ma contare gli out è soltanto il primo passo.
Dobbiamo poi trasformare quel conteggio in una probabilità corretta, distinguendo chiaramente:
prossima carta
da:
entro due carte
Un esempio concreto: flush draw al flop
Supponiamo che le nostre due carte siano:
A♥ 7♥
e che il flop sia:
K♥ 9♥ 2♣
Tra le cinque carte note vediamo quindi quattro cuori:
A♥
7♥
K♥
9♥
In un mazzo ci sono:
13 cuori
quindi i cuori ancora non visti sono:
13 - 4
=
9
Questi nove cuori sono gli out che completano il colore alla prossima carta.
Quante carte non conosciamo?
All'inizio il mazzo contiene:
52 carte
Noi conosciamo:
2 carte personali
+
3 carte del flop
=
5 carte
Quindi restano:
52 - 5
=
47
carte non viste.
Il punto importante è che il denominatore non è 52.
Le cinque carte note non possono più comparire al turn.
Probabilità di completare il colore al turn
Abbiamo:
9 out
su:
47 carte non viste
Quindi:
P(colore al turn)
=
9/47
≈
19,15%
Questo è un calcolo esatto.
Non abbiamo bisogno di alcuna regola approssimata.
Se il turn manca, cosa cambia al river?
Supponiamo che il turn non sia un cuore.
Abbiamo quindi consumato una carta non favorevole.
Prima del turn avevamo:
47 carte non viste
di cui:
9 cuori
38 non cuori
Dopo aver visto un non-cuore al turn, per il river restano:
46 carte
e i cuori favorevoli sono ancora:
9
Quindi:
P(colore al river | mancato al turn)
=
9/46
≈
19,57%
Notiamo una cosa interessante: questa probabilità è leggermente più alta di 9/47.
Il motivo non è che il colore sia "più dovuto".
È semplicemente cambiata la composizione delle carte non viste: abbiamo rimosso una carta sfavorevole.
Questo è un caso di probabilità condizionata, non di gambler's fallacy.
"Al river" può significare due cose
Nel linguaggio informale si sente spesso dire:
Qual è la probabilità di chiudere al river?
Ma matematicamente dobbiamo distinguere due domande.
La prima è:
ho mancato il turn;
qual è la probabilità che il river sia un out?
Risposta:
$$ 9/46 $$
La seconda è:
sono ancora al flop;
qual è la probabilità di completare il colore
al turn oppure al river?
Questa è una probabilità diversa.
La chiameremo:
probabilità entro il river
Probabilità di completare entro il river
Per non completare il colore né al turn né al river dobbiamo pescare due non-cuori consecutivi.
Al turn abbiamo:
38
non-cuori su:
47
carte.
Se ne esce uno, al river restano:
37
non-cuori su:
46
carte.
Quindi:
P(mancare entrambe)
=
38/47 · 37/46
Usiamo il complementare:
P(colore entro il river)
=
1
-
38/47 · 37/46
Il risultato è:
378/1081
≈
34,97%
Quindi, dal flop, nove out danno circa il 35% di probabilità di completare il colore in almeno una delle due carte successive.
Perché non possiamo fare 9/47 + 9/46?
Una tentazione sarebbe sommare:
$$ 9/47 + 9/46 $$
Ma i due eventi non sono semplicemente due alternative disgiunte.
Il secondo termine:
$$ 9/46 $$
è la probabilità del river condizionata al fatto di aver mancato il turn.
Non può essere sommato direttamente alla probabilità del turn.
Il percorso corretto è:
P(hit turn)
+
P(miss turn) · P(hit river | miss turn)
cioè:
$$ 9/47 + 38/47 \cdot 9/46 $$
che produce ancora:
378/1081
≈
34,97%
Lo stesso risultato con il complementare
Il metodo più compatto resta:
1
-
P(miss turn e miss river)
quindi:
1
-
38/47 · 37/46
Questo è esattamente lo stesso principio del complementare usato fin dai primi articoli della serie.
Lo stesso risultato con le combinazioni
Possiamo verificare il calcolo anche senza distinguere turn e river.
Dal flop devono ancora uscire due carte tra le:
47
non viste.
Se consideriamo soltanto quali due carte arriveranno, ignorando l'ordine turn/river, le possibili coppie sono:
C(47,2)
=
1.081
Per mancare il colore entrambe le carte devono appartenere ai:
38 non-cuori
quindi le coppie completamente sfavorevoli sono:
C(38,2)
=
703
Le coppie favorevoli, contenenti almeno un cuore, sono:
1.081 - 703
=
378
Quindi:
P(colore entro il river)
=
378/1081
Ancora lo stesso risultato.
Probabilità condizionata, complementare e combinazioni stanno descrivendo lo stesso problema da tre prospettive diverse.
Esattamente un cuore oppure due cuori
Possiamo scomporre ulteriormente le 378 coppie favorevoli.
Per avere esattamente un cuore nelle due carte future scegliamo:
1 cuore tra 9
e:
1 non-cuore tra 38
quindi:
C(9,1) · C(38,1)
=
9 · 38
=
342
coppie.
Per avere due cuori:
C(9,2)
=
36
coppie.
La somma è:
342 + 36
=
378
e quindi:
P(almeno un cuore)
=
378/1081
Questo è anche un piccolo esempio di distribuzione ipergeometrica.
Che cosa significa davvero "out"
Finora abbiamo definito come out ogni cuore rimasto.
Ma nel poker reale la parola "out" richiede attenzione.
Un out pulito è una carta che produce realmente il miglioramento che stiamo contando secondo l'obiettivo definito.
Un'ipotetica carta può sembrare favorevole ma creare contemporaneamente una situazione in cui l'avversario può ottenere un punto superiore.
In quel caso si parla spesso, informalmente, di:
dirty out
o out non completamente affidabile.
La matematica non può decidere da sola se una carta è un out: dipende dalla definizione dell'evento e dalle informazioni sul gioco.
Una volta definito correttamente l'insieme degli out, invece, il calcolo probabilistico è preciso.
Gli out non vanno contati due volte
Supponiamo di avere contemporaneamente un progetto di colore e un progetto di scala.
Non possiamo necessariamente fare:
out colore
+
out scala
perché alcune carte potrebbero completare entrambe le mani.
Quelle carte appartengono all'intersezione dei due insiemi di out.
Dovremmo quindi usare ancora inclusione-esclusione:
out distinti
=
out colore
+
out scala
-
out comuni
La regola di inclusione-esclusione torna direttamente utile.
La regola del ×2
Nel poker viene spesso usata una scorciatoia mentale:
con una sola carta da vedere, moltiplica gli out per circa 2.
Con nove out:
9 · 2
=
18%
Il valore esatto al turn è:
9/47
≈
19,15%
Quindi la regola fornisce una stima rapida ma non esatta.
La differenza è di circa:
1,15 punti percentuali
in questo caso.
La regola del ×4
Quando dal flop devono ancora arrivare turn e river, una seconda scorciatoia molto nota è:
moltiplica gli out per circa 4.
Con nove out:
9 · 4
=
36%
Il valore esatto è:
34,97%
La differenza è quindi di circa:
1,03 punti percentuali
La regola del ×4 non deriva dal semplice raddoppio di una probabilità esatta.
È un'approssimazione mentale utile in alcuni intervalli di out.
Perché ×4 non è una formula esatta
Se la probabilità su una carta fosse semplicemente:
$$ 9/47 $$
raddoppiarla darebbe circa:
38,30%
che non è né il 36% della regola mentale né il 34,97% esatto.
Il motivo è che:
- il secondo denominatore è
46, non47; - se colpiamo al turn non dobbiamo "colpire di nuovo" al river per avere successo;
- gli eventi turn e river non possono essere trattati come due copie indipendenti dello stesso evento.
Il calcolo corretto tiene conto della struttura senza reinserimento.
Le scorciatoie sono strumenti, non identità
Le regole:
outs × 2
outs × 4
possono essere utili per una stima mentale veloce.
Ma devono essere chiamate per quello che sono:
approssimazioni
Quando possiamo fare il calcolo esatto, le probabilità corrette vengono dalle carte realmente non viste.
Per nove out:
turn esatto ≈ 19,15%
×2 = 18%
entro river esatto≈ 34,97%
×4 = 36%
L'approssimazione può essere pratica, ma non sostituisce la formula.
Una funzione C# per una sola carta
Lo standalone C# associato a questo articolo è:
OutsTurnRiver.cs
Possiamo tradurre direttamente:
static double ProbabilitaProssimaCarta(
int outs,
int carteNonViste)
{
if (carteNonViste <= 0)
throw new ArgumentOutOfRangeException(
nameof(carteNonViste));
if (outs < 0 || outs > carteNonViste)
throw new ArgumentOutOfRangeException(
nameof(outs));
return
(double)outs
/ carteNonViste;
}
Al flop:
double turn =
ProbabilitaProssimaCarta(
outs: 9,
carteNonViste: 47);
otteniamo:
19,148936%
Una funzione per due carte future
Per la probabilità di colpire almeno una volta in due carte senza reinserimento possiamo usare il complementare.
static double ProbabilitaEntroDueCarte(
int outs,
int carteNonViste)
{
if (carteNonViste < 2)
throw new ArgumentOutOfRangeException(
nameof(carteNonViste));
if (outs < 0 || outs > carteNonViste)
throw new ArgumentOutOfRangeException(
nameof(outs));
int miss =
carteNonViste - outs;
if (miss < 2)
return 1.0;
double mancaPrima =
(double)miss
/ carteNonViste;
double mancaSeconda =
(double)(miss - 1)
/ (carteNonViste - 1);
return
1.0
-
mancaPrima
* mancaSeconda;
}
Per nove out su 47 carte:
double entroRiver =
ProbabilitaEntroDueCarte(
9,
47);
otteniamo circa:
34,967622%
Conserviamo anche i conteggi esatti
Possiamo usare BigInteger e combinazioni per verificare il risultato.
BigInteger totali =
Combinazioni(47, 2);
BigInteger miss =
Combinazioni(38, 2);
BigInteger favorevoli =
totali - miss;
Otteniamo:
Totali: 1081
Miss: 703
Favorevoli: 378
quindi:
$$ 378/1081 $$
senza alcuna approssimazione.
Simulazione come controllo empirico
Possiamo anche simulare il caso astratto senza costruire un vero mazzo.
Immaginiamo 47 carte non viste, delle quali le prime 9 siano out.
Per ogni esperimento:
- scegliamo una carta casuale al turn;
- se è un out, abbiamo successo;
- altrimenti scegliamo il river tra le 46 rimaste;
- controlliamo se il river è un out.
Con un seed fisso e molti esperimenti la frequenza empirica dovrebbe avvicinarsi a:
34,9676%
ma il valore esatto rimane:
$$ 378/1081 $$
Il punto pratico
Al flop, con nove out realmente validi:
P(hit al turn)
=
9/47
≈
19,15%
Se il turn manca:
P(hit al river | miss turn)
=
9/46
≈
19,57%
Dal flop, la probabilità di completare entro il river è:
P(hit entro river)
=
1
-
38/47 · 37/46
ossia:
378/1081
≈
34,97%
Le scorciatoie mentali danno:
×2 -> 18%
×4 -> 36%
e devono quindi essere riconosciute come stime, non come probabilità esatte.
La parte più importante, però, viene prima della formula: gli out devono essere definiti correttamente e contati una sola volta.
Nel prossimo articolo rimarremo nei giochi di carte ma cambieremo completamente prospettiva.
Nel blackjack la probabilità non dipende soltanto da quante carte possono aiutare la mano corrente: cambia con l'intera composizione residua del sabot.
Vedremo quindi perché il blackjack è un esempio naturale di probabilità dipendente dallo stato.